Question

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 60 градусов, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. Найдите длину гипотенузы.

Answer 1

Для решения данной задачи нам понадобится использовать тригонометрические соотношения для прямоугольного треугольника. Дано, что один из острых углов прямоугольного треугольника равен 60 градусов. По свойствам прямоугольного треугольника, сумма всех углов равна 180 градусов, следовательно, другой острый угол будет равен 90 - 60 = 30 градусов.

Дано также, что сумма гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. Обозначим меньший катет как a и гипотенузу как c. Тогда мы можем записать следующее уравнение:

a + c = 15

С помощью тригонометрических соотношений для прямоугольного треугольника, мы можем установить связь между длинами катетов и гипотенузы. В данном случае, используем соотношение для тангенса угла:

tan(60 градусов) = a / c

Известно, что tan(60 градусов) = sqrt(3), поэтому мы можем переписать уравнение следующим образом:

sqrt(3) = a / c

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:

a + c = 15 sqrt(3) = a / c

Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки или методом исключения. В данном случае, применим метод исключения. Возведем оба уравнения в квадрат:

(a + c)^2 = 15^2 (sqrt(3))^2 = (a / c)^2

a^2 + 2ac + c^2 = 225 3 = a^2 / c^2

Теперь мы можем выразить a^2 через c^2 из второго уравнения и подставить в первое:

3 * c^2 = a^2 3 * c^2 + 2ac + c^2 = 225

4c^2 + 2ac - 225 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно c. Решим его с помощью дискриминанта:

D = (2a)^2 - 4 * 4 * (-225) = 4a^2 + 3600

Так как мы ищем длину гипотенузы, то c > 0. Подставим D в формулу дискриминанта:

c = (-2a + sqrt(4a^2 + 3600)) / (2 * 4)

Теперь, зная значение a, мы можем вычислить значение c. Подставим a = 15 - c в уравнение:

c = (-2(15 - c) + sqrt(4(15 - c)^2 + 3600)) / 8

Решив это уравнение, мы получим значение c, которое будет являться длиной гипотенузы треугольника.

Answer 2

Ответ: Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 10 см.

Объяснение: Пусть ABC - прямоугольный треугольник, в котором угол A равен 60 градусов, а гипотенуза AC и катет AB удовлетворяют условию AC + AB = 15 см. Тогда, по теореме Пифагора, BC^2 = AC^2 - AB^2. Так как угол A равен 60 градусов, то треугольник ABC подобен равностороннему треугольнику со стороной 2, и поэтому BC = AB * √3. Подставляя это в теорему Пифагора, получаем:

(AC - AB)^2 = AB^2 * (3 - 1)

Раскрывая скобки и приводя подобные, получаем:

AC^2 - 4 * AC * AB + 4 * AB^2 = 0

Домножая обе части уравнения на 4 и заменяя AC * AB на x, получаем:

x^2 - 15 * x + 60 = 0

Решая квадратное уравнение, находим корни:

x = (15 ± √(15^2 - 4 * 60)) / 2

x = (15 ± 9) / 2

x = 12 или x = 3

Так как x = AC * AB, то AC = x / AB. Подставляя x = 12 и x = 3 в это выражение, получаем два возможных значения для AC:

AC = 12 / AB или AC = 3 / AB

Так как AC + AB = 15, то AB = 15 - AC. Подставляя это в предыдущие выражения, получаем:

AC = 12 / (15 - AC) или AC = 3 / (15 - AC)

Решая эти уравнения, находим два возможных значения для AC:

AC = 10 или AC = 5

Так как AC - это гипотенуза, то она должна быть больше катетов, поэтому отбрасываем значение AC = 5, так как оно не подходит. Остается только одно возможное значение для AC:

AC = 10

Ответ: Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 10 см.