Question

В окружность с радиусом R, вписан правильный треугольник. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник. (с решением).

Answer 1

Для решения этой задачи, нам потребуется использовать некоторые свойства вписанного треугольника и окружности.

Свойства вписанного треугольника: 1. Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис треугольника. 2. Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен отношению площади треугольника к его полупериметру.

Свойства окружности, вписанной в треугольник: 1. Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит внутри треугольника. 2. Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен отношению площади треугольника к его полупериметру.

Теперь давайте решим задачу.

Найдем радиус вписанной окружности:

Пусть R - радиус внешней окружности, в которую вписан правильный треугольник. Пусть r - радиус вписанной окружности.

Шаг 1: Найдем длину стороны треугольника.

В правильном треугольнике каждая сторона равна R, поэтому длина стороны равна R.

Шаг 2: Найдем площадь треугольника.

Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле: S = (sqrt(3) / 4) * a^2, где a - длина стороны треугольника.

S = (sqrt(3) / 4) * R^2

Шаг 3: Найдем полупериметр треугольника.

Полупериметр треугольника равен половине суммы длин его сторон.

Полупериметр треугольника P = (3 * R) / 2

Шаг 4: Найдем радиус вписанной окружности.

r = S / P

Подставим значения S и P:

r = ((sqrt(3) / 4) * R^2) / ((3 * R) / 2)

Упростим выражение:

r = (sqrt(3) * R) / 6

Таким образом, радиус окружности, вписанной в правильный треугольник с радиусом R, равен (sqrt(3) * R) / 6.

Ответ: Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник с радиусом R, равен (sqrt(3) * R) / 6.