Question

Люди помогите!!! Очень нужно решить!!! Пожалуйста, обратите внимание на задание (на украинском!) Якщо точка М - точка перетину медыан трикутника АВС, то вектор ОМ=1/3(вектор ОА+вектор ОВ+вектор ОС), де О - деяка точка площини.Доведіть.

Answer 1

Задача вас просять довести, що якщо точка M - точка перетину медіан трикутника ABC, то вектор OM = 1/3(вектор OA + вектор OB + вектор OC), де O - деяка точка площини.

Давайте розглянемо медіани трикутника ABC. Медіана - це відрізок, який з'єднує вершину трикутника з серединою протилежного відрізка. Таким чином, точка M - точка перетину медіан, що розташована на відрізках, які діляться у відношенні 1:2 відносно кожної зі сторін трикутника.

Позначимо вершини трикутника ABC векторами:

OA - вектор, що веде від точки O до точки A, OB - вектор, що веде від точки O до точки B, OC - вектор, що веде від точки O до точки C.

Також введемо точку M, яка є точкою перетину медіан трикутника ABC.

Медіана, яка йде з точки A, поділяє вектор OB пополам, тобто вектор OM можна представити як:

вектор OM = 1/2 * вектор OB.

Аналогічно для інших векторів:

вектор OM = 1/2 * вектор OA, вектор OM = 1/2 * вектор OC.

Тепер складемо ці рівності:

1/2 * вектор OM + 1/2 * вектор OM + 1/2 * вектор OM = вектор OA + вектор OB + вектор OC.

Згрупуємо однакові доданки:

3/2 * вектор OM = вектор OA + вектор OB + вектор OC.

Тепер поділимо обидві сторони на 3:

1/2 * вектор OM = 1/3 * вектор OA + 1/3 * вектор OB + 1/3 * вектор OC.

Отже, ми довели, що вектор OM можна представити як 1/3 суми векторів OA, OB і OC.