Question

в равнобедренной трапеции ABCD диагонали взаимно перпендикулярны. найдите площадь трапеции, если диагональ AC равна 6см.

Answer 1

Для решения этой задачи, нам нужно использовать свойство ортогональности диагоналей равнобедренной трапеции.

Известные факты:

- В трапеции ABCD диагонали AC и BD перпендикулярны. - Диагональ AC имеет длину 6 см.

Решение:

1. Разделим трапецию на два треугольника, используя диагональ AC. Обозначим точку пересечения диагоналей как точку O.

      A______B
     /        \
    /          \
   /            \
  D____________C

2. Так как диагонали взаимно перпендикулярны, треугольник AOC будет прямоугольным.

      A______B
     /|       \
    / |        \
   /  |         \
  D___|_________C
     O

3. Мы знаем, что диагонали равнобедренной трапеции равны. Таким образом, OD также равна 6 см.

4. Трикутник AOC - прямокутний. Ми можем використати теорему Піфагора, щоб знайти довжину AO або OC. Так як OD = 6 см, то ми можем записати:

AO^2 + OD^2 = AD^2

AO^2 + 6^2 = AD^2

AO^2 + 36 = AD^2

AO^2 = AD^2 - 36

AO = sqrt(AD^2 - 36)

5. Так як AD = BC (так як ABCD - рівнобедрена трапеція), ми можем записати:

AO = sqrt(BC^2 - 36)

6. Якщо ми вважаємо BC як х, то AO = sqrt(x^2 - 36).

7. Довжини бічних сторін трапеції дорівнюють AO і BC, тому площа трапеції може бути знайдена як:

S = (BC + AO) * h / 2,

де h - висота трапеції.

8. З останнього кроку ми не знаємо висоту трапеції, тому нам потрібно шукати її.

9. Висота трапеції може бути знайдена як відстань між точкою O і стороною BC.

10. Так як BC є горизонтальною стороною, то висота трапеції може бути знайдена як відстань між точкою O і горизонтальною прямою, на якій лежить BC.

11. Так як OD перпендикулярна BC, висота трапеції дорівнює довжині OD, яка вже відома і дорівнює 6 см.

12. Тепер, коли ми знаємо висоту трапеції та AO, ми можемо обчислити площу трапеції:

S = (BC + AO) * h / 2

S = (x + sqrt(x^2 - 36)) * 6 / 2

S = 3(x + sqrt(x^2 - 36))

Таким чином, площа трапеції дорівнює 3(x + sqrt(x^2 - 36)), де x - довжина бічної сторони BC.