Question

стороны основы прямоугольного паралелепипеда равны 3 и 4см. Диагональ большей боковой грани наклонена к площине основы под углом 45°. Найти площадь полной поверхности параллелепипеда.

Answer 1

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства прямоугольного параллелепипеда и теорему Пифагора для нахождения диагонали боковой грани.

1. Известно, что стороны основ прямоугольного параллелепипеда равны 3 и 4 см. Это значит, что площади этих основ равны \(3 \times 4 = 12\) квадратных сантиметров.

2. Диагональ большей боковой грани наклонена к плоскости основы под углом 45°. Поскольку это прямоугольный параллелепипед, диагональ боковой грани составляет гипотенузу прямоугольного треугольника, а стороны этого треугольника - это стороны основы. Таким образом, диагональ \(d\) боковой грани будет равна:

\[d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\ \text{см}\]

3. Теперь, когда мы знаем длину диагонали боковой грани, можем найти площадь боковой поверхности параллелепипеда. Она равна произведению периметра основы на высоту параллелепипеда, а периметр основы - это сумма всех сторон основы, умноженная на высоту боковой грани:

\[S_{\text{бок}} = 2 \times (a + b) \times h\]

где \(a\) и \(b\) - стороны основы, \(h\) - высота боковой грани.

4. Поскольку у нас прямоугольный параллелепипед, \(a = 3\), \(b = 4\), и \(h = d = 5\):

\[S_{\text{бок}} = 2 \times (3 + 4) \times 5 = 2 \times 7 \times 5 = 70\ \text{см}^2\]

5. Итак, площадь боковой поверхности параллелепипеда равна 70 квадратным сантиметрам.

6. Чтобы найти полную площадь поверхности параллелепипеда, нужно прибавить к этой площади две площади основ:

\[S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2 \times S_{\text{основы}} = 70 + 2 \times 12 = 70 + 24 = 94\ \text{см}^2\]

Таким образом, полная площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 94 квадратных сантиметра.