Question

Помогите решить!!! Вершины четырёхугольника ABCD являются серединами сторон четырехугольника , диагонали которого равны по 6 дм и пересекаются под углом 60°.Вычислите площадь четырёхугольника ABCD.

Answer 1

Давайте обозначим вершины четырёхугольника ABCD как A, B, C и D, а середины его сторон как M, N, P и Q. Также диагонали пересекаются в точке O, и их длины равны 6 дм.

Мы знаем, что диагонали четырёхугольника пересекаются под углом 60°. Это означает, что треугольник AOB (где O - точка пересечения диагоналей, A и B - вершины четырёхугольника) является равносторонним треугольником, так как все его углы равны 60°.

Также, поскольку вершины четырёхугольника ABCD являются серединами сторон, то AM = MB, BN = NC, CP = PD и DQ = QA.

Теперь давайте соединим точки O и M, O и N, O и P, O и Q. Получится, что мы разделили четырёхугольник ABCD на четыре равносторонних треугольника: AOM, BON, COP и DOQ.

Теперь у нас есть четыре равносторонних треугольника с длиной стороны 6 дм. Мы знаем, что площадь равностороннего треугольника можно вычислить по формуле:

\[ \text{Площадь} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \text{Длина стороны}^2 \]

Подставим значение:

\[ \text{Площадь треугольника} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 \]

\[ \text{Площадь треугольника} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 \]

\[ \text{Площадь треугольника} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \, \text{кв. дм} \]

Так как у нас четыре таких треугольника, то общая площадь четырёхугольника ABCD будет:

\[ \text{Площадь четырёхугольника} = 4 \times \frac{3\sqrt{3}}{2} \, \text{кв. дм} \]

\[ \text{Площадь четырёхугольника} = 6\sqrt{3} \, \text{кв. дм} \]

Таким образом, площадь четырёхугольника ABCD равна \(6\sqrt{3} \, \text{кв. дм}\).