Question

Дано треугольник ABC.Внешний угол при вершине B 150 градусов,AC+AB=12 cм.Найти длину гипотенузы

Answer 1

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться тригонометрическими функциями. Давайте обозначим стороны треугольника следующим образом:

- \( AB \) - катет треугольника, - \( AC \) - катет треугольника, - \( BC \) - гипотенуза треугольника.

Известно, что внешний угол при вершине \( B \) равен \( 150^\circ \). Так как сумма внутренних и внешних углов треугольника равна \( 180^\circ \), то внутренний угол при вершине \( B \) будет равен \( 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \).

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник \( ABC \) с углом \( 30^\circ \) при вершине \( B \). Мы знаем, что \( AC = AB + BC \) и \( AB = BC \tan(30^\circ) \) (так как \( \tan(\theta) = \frac{{\text{{противоположный катет}}}}{{\text{{прилежащий катет}}}} \) в прямоугольном треугольнике).

Таким образом, мы можем записать:

\[ AC = AB + BC \] \[ AC = BC \tan(30^\circ) + BC \]

Теперь мы знаем, что \( AC = 12 \) см. Подставим это значение и решим уравнение относительно \( BC \):

\[ 12 = BC(\tan(30^\circ) + 1) \]

\[ BC = \frac{12}{{\tan(30^\circ) + 1}} \]

Теперь вычислим значение \( BC \):

\[ BC = \frac{12}{{\tan(30^\circ) + 1}} \]

\[ BC = \frac{12}{{\frac{{\sqrt{3}}}{{3}} + 1}} \]

\[ BC = \frac{12}{{\frac{{\sqrt{3} + 3}}{{3}}}} \]

\[ BC = \frac{12 \cdot 3}{{\sqrt{3} + 3}} \cdot \frac{{\sqrt{3} - 3}}{{\sqrt{3} - 3}} \]

\[ BC = \frac{36(\sqrt{3} - 3)}}{{3 - 9}} \]

\[ BC = \frac{{36(\sqrt{3} - 3)}}{{-6}} \]

\[ BC = -6(\sqrt{3} - 3) \]

\[ BC = 18 - 6\sqrt{3} \]

Таким образом, длина гипотенузы \( BC \) равна \( 18 - 6\sqrt{3} \) см.