Question

Докажите, что в равнобедренном треугольнике две высоты, проведённые из вершин основания, равны

Answer 1

Давайте рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC. Пусть H₁ и H₂ - это две высоты, проведенные из вершин B и C соответственно к основанию AC.

1. Совпадение сторон: В равнобедренном треугольнике AB = AC, так как он имеет две равные стороны.

2. Одинаковые углы: У равнобедренного треугольника два угла при основании также равны (по свойству равнобедренного треугольника).

3. Прямоугольные треугольники: Посмотрим на треугольники ABC, BAH₁ и CAH₂. Треугольник BAH₁ - прямоугольный, так как высота H₁ проведена к основанию AC. Точно так же, треугольник CAH₂ - тоже прямоугольный из-за высоты H₂.

4. Подобие треугольников: Так как углы B и C равны, а угол A общий, то по признаку подобия треугольников BAH₁ и CAH₂ подобны треугольнику ABC. То есть, соотношение сторон в этих треугольниках одинаково.

5. Следствие из подобия: Из подобия треугольников BAH₁ и CAH₂ можно сказать, что отношение высот H₁ к H₂ равно отношению сторон, соответственных этим высотам. Обозначим длины сторон как AB = AC = a, BC = b. Тогда: \[ \frac{H₁}{H₂} = \frac{AB}{AC} = \frac{a}{a} = 1. \]

Таким образом, мы доказали, что в равнобедренном треугольнике две высоты, проведенные из вершин основания, равны.