Question

В прямом треугольнике ABC угол С прямой, СН - высота, АВ = 15, cos A = 0,6. Найдите АН.

Answer 1

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться основными тригонометрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.

Обозначим длины сторон треугольника ABC следующим образом: - AB = 15 (дано), - BC - гипотенуза, - AC - катет, - CN - высота из вершины C.

Из условия известно, что \(\cos A = \frac{AC}{BC} = 0,6\).

Также мы знаем, что \(\cos A = \frac{AC}{BC}\). Подставим значение \(\cos A\): \[0,6 = \frac{AC}{BC}\]

Мы также можем использовать тот факт, что \(\sin A = \frac{CN}{BC}\), так как CN - высота из вершины C: \[\sin A = \frac{CN}{BC}\]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (AC и BC). Мы можем решить эту систему уравнений.

1. Из уравнения \(\cos A = \frac{AC}{BC}\) найдем значение AC: \[AC = 0,6 \cdot BC\]

2. Подставим полученное значение AC в уравнение \(\sin A = \frac{CN}{BC}\): \[\sin A = \frac{CN}{BC}\] \[\sin A = \frac{CN}{0,6 \cdot BC}\]

Теперь у нас есть выражение для CN. Наконец, используем тот факт, что площадь треугольника равна половине произведения катета на высоту, чтобы выразить CN через площадь треугольника: \[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CN\]

Подставим известные значения и найдем CN. После этого, мы сможем использовать теорему Пифагора для нахождения BC: \[BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}\]

Наконец, найдем AN, используя тот факт, что AN - это разность AC и CN: \[AN = AC - CN\]

Таким образом, мы можем последовательно решить эту задачу, найдя значения AC, BC, CN и AN.