Question

Написать уравнение касательной к графику функции f(x)=x3-2x-1 в точке с абсциссой х0=1.

Answer 1

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции \(f(x) = x^3 - 2x - 1\) в точке с абсциссой \(x_0 = 1\), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти значение функции и её производной в точке \(x_0\). 2. Подставить найденные значения в уравнение касательной.

Давайте начнем с первого шага:

1. Находим значение функции и её производной в точке \(x_0 = 1\):

- Значение функции в точке \(x_0\): \[f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1 - 1 = -2\]

- Найдем производную функции \(f(x)\): \[f'(x) = 3x^2 - 2\]

- Значение производной в точке \(x_0\): \[f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 2 = 1\]

2. Подставляем значения в уравнение касательной:

Уравнение касательной к графику функции в точке \((x_0, f(x_0))\) имеет вид: \[y - f(x_0) = f'(x_0) \cdot (x - x_0)\]

Подставим значения: \[y + 2 = 1 \cdot (x - 1)\]

Упростим уравнение: \[y + 2 = x - 1\]

Теперь можем записать уравнение касательной: \[y = x - 3\]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции \(f(x) = x^3 - 2x - 1\) в точке с абсциссой \(x_0 = 1\) равно \(y = x - 3\).