Question

Номер 368, с решением.

Answer 1

Биссектриса угла А делит треугольник на два равнобедренных.  Найдите углы треугольника. 

Обозначим треугольник  АВС, биссектрису - АЕ, половину угла А=х 

Тогда в ∆ АВЕ стороны АЕ=ВЕ, ∠ВАЕ=∠АВЕ=х

Так как АЕ - биссектриса, ∠ЕАС=∠ВАЕ=х

Сумма углов треугольника 180°. 

В равнобедренном ∆ ЕАС углы при основании ЕС равны. 

∠АЕС=∠АСЕ=(180°-х):2

Для ∆ АВС 

∠А +∠В+∠С=180°

х+х+(180-х):2=180°

5х=180

х=36°

Отсюда ∠В=36°, углы А=С=2•36°=72°

--------

Нужно отметить, что в первую очередь думается о случае,  когда  биссектриса делит треугольник на два равных равнобедренных треугольника. . 

В этом случае биссектриса будет одной из трёх равных сторон получившихся треугольников. 

∆ АВЕ=∆ АСЕ, стороны ВЕ=АЕ=СЕ. 

Получаем АЕ - медиана ∆ ВАС. Забудем на время, что если медиана равна половине стороны. к которой проведена, этот треугольник – прямоугольный. 

В ∆ АВС угол А=угол В+С (из равенства половин угла А и углов В и С)

Пусть угол В=С=х

⇒∠А=2х

В ∆ ВАС угол А=2х, угол В=С=х, сумма 2х+х+х=180°

 откуда х=45°. 

Угол В=С=45°, угол А=90°

Answer 2

Задача не совсем корректная, т.к. имеет два решения в зависимости от расположения равнобедренных треугольников.