Question

боковое ребро и апофема правильной треугольной пирамиды соответственно равны 11 см и 7 см. Вычислить площадь сечения, проходящего через боковое ребро, и высоту пирамиды

Answer 1

Пусть SABC- данная правильная треугольная пирамида. SO- высота пирамиды, SМ- апофема. Посторим сечение, что проходит через боковое ребро и высоту пирамиды. Через вершину основания А и основание высоты пирамиды О проведем прямую, т. Т - точка пересечения прямой ОА и стороны основания ВС. SТ - впямая по которой искомая плоскость пересекает грань SВС. Поскольку треугольник АВС правильный, то О- центр вписаной и описаной окружности, SТ - является апофемой грани SВС(по теореме о 3-х перпендикулярах, SО - перпендикуляр, SТ- наклонная, ОТ- проекция).

S = ½ SО·АТ

АТ=r+R - сума радиусов вписаной и описаной окружностей.

Из треугольника SМА найдем по т.Пифагора АМ - половину стороны основания.

АМ²= SА²-SМ² = 11²-7²=121-49=72 , АМ=√72=√36·2=6√2см

Вся сторона основания АВ=2·6√2=12√2см

Из труегю АМТ по т. Пифагора найдем АТ: АТ²=АВ²-ВТ²=(12√2)²-(6√2)²=216

 АТ=√216 =6√6см

Найдем высоту пирамиды:

Из треугольника SОА по т. Пифагора: SО²=SА² -ОА², ОА -радиус описаной окружности, ОА=АВ/√3.

SО²=11² -(12√2/√3)²=121-96=25, SО=5см

S = ½ ·6√6·5=15√6 (см²)