Question

Три круга (площадь каждого из них равна S) касаются друг друга. Найдите площадь круга, который внутренним образом касается трех данных кругов. Нужно подробное решение, ответ: S(7 − 4√3) / 3.

Answer 1

По сути дела надо рассматривать Δ , образованный центрами трёх кругов.Этот треугольник равносторонний со стороной 2R . Центр четвёртого круга - это точка пересечения медиан. Медианы, пересекаясь, делятся в отношении 1:2. Вот этим и будем пользоваться.
Ищем медиану. по т. Пифагора. m² = (2R)² - R²
                                                  m² = 4R² - R²
                                                  m² =3R²
                                                  m = R√3
теперь ищем радиус нового  (четвёртого) круга . Этот радиус = 2/3 m + R= =2/3·R√3 + R= 2R/3√3 + R. Ищем площадь. S1 = π(2R/3√3 + R)²= π R²(2 + 3√3)/3√3)²
Осталось выразить  R через S. Зная, что S = π R², получим R² = (S/ π)
S1 = S( 7 - 4√3)/3