Question

Основание пирамиды ромб с большей диагональю d и острым углом альфа .Все двугранные углы при основании пирамиды равны бета. Найдите площадь полной поверхности пирамиды

Answer 1

 Основание пирамиды ромб с большей диагональю d и острым углом альфа .Все двугранные углы при основании пирамиды равны бета. Найдите площадь полной поверхности пирамиды  

  Площадь S полной поверхности пирамиды равна сумме S1 –(площади основания), и S2 –(площади 4-х равных боковых сторон). 

Примем сторону основания равной а. (см. рисунок в приложении)

Тогда S1=a²•sinα 

S2=SH•4a:2=SH•2a

S=a²•sinα+2a•SH

Так как боковые грани наклонены к основанию под одинаковым углом, радиус r=ОН вписанной в основание окружности равен половине высоты  h основания и по т. о трёх перпендикулярах является проекцией высоты SH боковой грани, а угол SHO= β  =>

SH=r=OH:cosβ

$OH= \frac{h}{2} = \frac{a*sin \alpha}{2}$

$SH= \frac{a*sin \alpha }{2cos \beta }$

S2=[2a•(a•sinα)/2]:cosβ=a²•sinα/cosβ

S=a²•sinα+ a²•sinα/cosβ

$S_2} = \frac{2a*a*sin \alpha }{cos \beta } = \frac{a^2*sin \alpha }{cos \beta }$

Выразим а²  из  ∆ BCD по т.косинусов.

 В ∆ DCB  большая диагональ BD=d 

<DCB=180°- < CDA  

 cos<DCB= - cosCDA= -cosα 

По т.косинусов BD²=CD²+BC²-2CD•CB•(-cosα )

d²=a²+a²-2a²•(-cosα )=> 

$a^2= \frac{d^2}{2(1+cos \alpha )}$

Подставив в S значение а² , получим:

S=d²•sinα•(cosβ+1):2(1+cosα)cos β (ед. площади)

$S= \frac{d^2*sin \alpha *(cos \beta +1)}{2*(cos \beta +1)*cos \beta }$