Question

В правильной четырехугольной пирамиде диагональ основания равна d. Боковые грани наклонены к основанию под углом a(альфа). Найдите объем пирамиды.

Answer 1

Пирамида правильная, значит в основании квадрат, высота проецируется в точку пересечения его диагоналей.
АС = d.
Sabcd = d²/2 - половина произведения диагоналей.
Сторона квадрата:
АВ = АС/√2 = d/√2 = d√2/2
Проведем ОН⊥CD.
ОН = AD/2 = d√2/4 как средняя линия ΔACD.
OH - проекция SH на плоскость основания, значит SH⊥CD по теореме о трех перпендикулярах.
∠SHO = α - линейный угол двугранного угла наклона боковой грани к плоскости основания.
ΔSOH: SO = OH·tgα = d√2/4 · tgα

V = 1/3 ·Sabcd · SO
V = 1/3 · d²/2 · d√2/4 · tgα = d³·tgα / 24