Question

Длины сторон треугольника ABC — последовательные целые числа, а медиана, проведенная из вершины A, перпендикулярна биссектрисе угла B. Найдите длины сторон треугольника ABC. В ответ укажите периметр треугольника ABC.

Answer 1

Пусть AL -медиана (L-точка пересечения медианы и стороны BC) O-точка пересечения медианы и биссектрисы .Пусть биссектриса бьет угол B на углы равные ф. Тогда тк медиана перпендикулярна биссектрисе, то ΔALB=ΔLAB=90-ф.Тогда треугольник ABL -равнобедренный: AB=BL. Тк BL=LC,то BC=2*AB Больше ничего мы из условия перпендикулярности медианы с биссектрисой для сторон найти не сможем..Тк если было бы задано что BC=2*AB,то перпендикулярность медианы и биссектрисы было бы уже очевидным следствием: тк тогда BL=BC/2=AB,BL=AB откуда сразу же очевидно что: ΔALB=ΔBAL=f ,то из условия суммы углов треугольника: 2f+2ф=180 ,f+ф=90,то BOA=90.А тк зная отношение двух сторон мы ничего не можем сказать о третьей.То все равноправно.И кроме того что BC=2*AB мы ничего не можем определить. Но тогда задача имеет 3 решения: пусть x -самая маленькая из сторон,тогда другие две равны: x+1 и x+2. рассмотрим все случаи: 1)x+1=2*x x=1 2)x+2=2x x=2 3) x+2=2*(x+1) x=0 -этот случай не подойдет.Значит у нас два решения: 1) 1,2,3 Но если посмотреть внимательно ,то исходный случай не удовлетворяет неравенству треугольника 1+2=3 ,что невозможно. 2)2,3,4 P=9 Ответ:9