Question

Высоты треугольника равны m,n и p.Найдите радиус вписанной окружности.

Answer 1

 пусть стороны треугольника равны $a;b;c$  опущенные к ним высота соответственно равны $m;p;n$.
 Так как  площадь треугольника можно вычислить  
$cn=2pr\\ am=2pr\\ bp=2pr$ 
 откуда 
$c=\frac{2pr}{n}\\ a=\frac{2pr}{m}\\ b=\frac{2pr}{p}$
 то полупериметр  
 $p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{2pr(\frac{1}{n}+\frac{1}{m}+\frac{1}{p})}{2}\\ r(\frac{1}{n}+\frac{1}{m}+\frac{1}{p})=1\\ \frac{1}{n}+\frac{1}{m}+\frac{1}{p}=\frac{1}{r}$
  откуда радиус 
 $r=\frac{1}{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}+\frac{1}{p}}=\frac{mnp}{mn+mp+np}$