Question

В ромбе ABCD АВ = 10 см, меньшая диагональ АС = 12 см. Найдите площадь ромба.

Answer 1

Дано:

ABCD - ромб

AB=10см

AC=12см

Найти: S(ABCD)

Решение:

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

$S_{ABCD}=\dfrac{1}{2} AC\cdot BD$

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам. Если точку пересечения диагоналей обозначить как О, то получим:

$BD=2BO$

Подставим соотношение для BD в формулу площади:

$S_{ABCD}=\dfrac{1}{2} AC\cdot 2BO=AC\cdot BO$

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Запишем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника AOB:

$AB^2=AO^2+BO^2$

Зная, что $AO=\dfrac{1}{2} AC$, выразим BO:

$BO^2=AB^2-\left(\dfrac{1}{2} AC\right)^2\\BO=\sqrt{AB^2-\dfrac{1}{4} AC^2}$

Подставим соотношение для BO в формулу площади:

$S_{ABCD}=AC\cdot BO=AC\cdot\sqrt{AB^2-\dfrac{1}{4} AC^2}$

Подставляем значения:

$S_{ABCD}=12\cdot\sqrt{10^2-\dfrac{1}{4} \cdot12^2}=12\cdot8=96\ (\mathrm{sm^2})$

Ответ: 96см²