Question

Расстояния от центра прямоугольного параллелепипеда до его ребер равны корнь из 13, 2корня из 5 и 5 см. Найти объем параллелепипеда. Ответ:192см^3 Прошу, помогите! Максимально подробно, если можно!

Answer 1

Пусть дан параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁  
Все его грани - прямоугольники. 
Центр - точка О пересечения диагоналей этого параллелепипеда. . Расстоянием от О до ребер параллелепипеда являются перпендикуляры к ним из О, причем, т.к. О - центр параллелепипеда, то перпендикуляры к ребрам будут пересекаться с ними в их середине.  
ОЕ =√13=расстояние от О до АА1 
ОМ =2√5- расстояние от О до АВ 
ОК=5- расстояние от О до ВС 
АЕ=ЕА₁  
АМ=ВМ  
ВК=КС  
Диагонали основания АВСД равны и пересекаются в точке Н,   
ОН⊥ плоскости АВСД 
СН=НА=ОЕ=√13  
КМ - средняя линия треугольника АВС=АC:2=√13 
Тогда КВ²=КМ²-ВМ² 
а²=13-b² 
Из треугольника ОНК выразим ОН²:  
ОН²=ОК²-КН² 
КН=ВМ=b 
ОН²=25-b² 
Из треугольника ОНМ выразим ОН²:  
ОН²=ОМ²-НМ² 
ОН²=20-(13-b²)  
Приравняем значения ОН² из этих уравнений: 
25-b²=20-13+b² 
18=2b² 
 b²=9  
b=3  
Тогда из  а²=13-b² 
а²=13-9=4 
а=2⇒  
ВС=4,  
АВ=6  
ОН²=25-b²=16 
 ОН=4 
ОН=ЕА=половине АА₁, высоте параллелепипеда.  
АА₁=8 
V=S (ABCD)*AA₁  
V=6*4*8=192 см³