Question

В трапецию вписана окружность радиуса 6. точка касания делит одно из оснований на отрезки 9 и 12. Найти стороны и площадь трапеции

Answer 1

Соединим центр окружности с вершинами трапеции и с точками касания.
Имеем подобные треугольники AOE и ОКВ, а также ДОЕ и ОСР (их стороны взаимно перпендикулярны).
Находим отрезки сторон у вершин до точки касания: х = ВК, у = СР.
6/12 = х/6,  х = 6*6/12 = 3.
6/9 = у/6,    у = 6*6/9 = 4.
Отсюда получаем длины сторон:
АВ = 9+4 = 13,
ВС 0 4+3 = 7,
СД = 12+3 = 15.

Высота Н трапеции равна:
Н = √(АВ² - (9-4)²) = √169 - 25) = √144 = 12.

Площадь S трапеции равна:
S = 12*((7+21)/2) = 12*14 = 168 кв.ед.

Answer 2

Вариант решения. 

Обозначим трапецию АВСД, ВС и АД - основания.

 Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны.⇒

АМ=АН=9, КД=ДН=12,  ВМ=ВТ=х, СТ=СК=у

Соединим вершины трапеции с центром окружности. 

Центр вписанной в угол окружности лежит на его биссектрисе.⇒ Центр вписанной в трапеции окружности лежит в точке пересечения биссектрис её углов. 

Сумма углов при боковой стороне  трапеции равна 180°, сумма их половин равна 90°, ⇒ ∆ АОВ и ∆ СОВ прямоугольные, радиусы ОМ и ОК– их высоты. 

Высота прямоугольного треугольника - среднее пропорциональное между проекциями его катетов на гипотенузу. 

ОМ²=АМ•ВМ

36=9•х⇒

х=36:9=4

Аналогично ОК²=ДК•СК

36=12•у

у=36:12=3

АВ=9+4=13

ВС=3+4=7

CD=12+3=15

АД=9+12=21

Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований. 

Высота описанной трапеции равна диаметру вписанной окружности 

h=2r=12

S=(7+21)•12:2=168 ед. площади.