Question

В треугольнике АВС, АВ=10 см, ВС=12 см, СА=5 см, вписанная окружность котороя касается старон АВ, ВС, СА в точках PQR. Найдите АР, РВ, ВQ. QC. CR. RA

Answer 1

Просто ответ нужен или решение  тоже? ответ получается 3,5

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами вписанной окружности треугольника.

1. Для начала найдем площадь треугольника ABC. Для этого воспользуемся формулой Герона: S = √(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - AC)), где p - полупериметр треугольника, p = (AB + BC + AC) / 2.

В нашем случае, AB = 10 см, BC = 12 см, AC = 5 см, поэтому p = (10 + 12 + 5) / 2 = 27 / 2 = 13,5 см.

Подставляя значения в формулу, получаем: S = √(13,5 * (13,5 - 10) * (13,5 - 12) * (13,5 - 5)) = √(13,5 * 3,5 * 1,5 * 8,5) ≈ √(833,4375) ≈ 28,85 см².

2. Так как вписанная окружность треугольника касается сторон AB, BC и AC, то сумма отрезков AP, BP, BQ, CQ, CR и AR будет равна полупериметру треугольника ABC, то есть 13,5 см.

AP + BP + BQ + CQ + CR + AR = 13,5 см.

3. Также известно, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанной окружности, делятся на равные отрезки.

Поэтому, AP = AR, BP = BQ и CQ = CR.

Подставляя эти равенства в уравнение из пункта 2, получаем: 2 * AP + 2 * BP + 2 * CQ = 13,5 см, 2 * (AP + BP + CQ) = 13,5 см, 2 * (AR + BQ + CQ) = 13,5 см, 2 * (AR + BQ + CR) = 13,5 см.

4. Теперь разделим полупериметр треугольника ABC на 2, чтобы найти длину каждого из отрезков AP, BQ, CQ, CR и AR: AR + BQ + CR = 13,5 см / 2 = 6,75 см.

Так как AR = AP, BQ = BP и CQ = CR, то можно записать: 2 * AR + 2 * BQ + 2 * CQ = 6,75 см, 2 * (AR + BQ + CQ) = 6,75 см, 2 * (AR + AR + AR) = 6,75 см, 6 * AR = 6,75 см, AR = 6,75 см / 6 = 1,125 см.

Таким образом, AR = 1,125 см, BQ = 1,125 см и CQ = 1,125 см.

Остается найти длины отрезков BP и CR: BP = BQ = 1,125 см, CR = CQ = 1,125 см.

Итак, получаем: АР = 1,125 см, РВ = BP = BQ = 1,125 см, ВQ = BQ = 1,125 см, QC = CQ = 1,125 см, CR = CQ = 1,125 см, RA = AR = 1,125 см.