Question

ЦЕНТР ОПИСАННОЙ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА ОКРУЖНОСТИ ЛЕЖИТ НА МЕДИАНЕ .ДОКАЖИТЕ ЧТО ЭТОТ ТРЕУГОЛЬНИК ЛИБО РАВНОБЕДРЕННЫЙ ЛИБО ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ

Answer 1

Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров.
Для равнобедренного треугольника серединная высота, проведенная от основания=медиане=биссектрисе.
в прямоугольном треугольнике медиана проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе = 1/2 гипотенузы, а гипотенуза = диаметру описанной окружности, т.к. угол опирающийся на гипотенузу =90 и есть вписанным углом, те.угол диаметра= 2*90=180 - прямая линия, это 1/2 окружности. а медиана = радиусу

Answer 2

Предположим, что у нас есть треугольник ABC, и центр описанной окружности лежит на медиане, например, из вершины A. Мы хотим доказать, что этот треугольник может быть либо равнобедренным, либо прямоугольным.

Обозначим точку, в которой медиана из A пересекает описанную окружность, как O (центр окружности). Поскольку O лежит на медиане, она делит медиану пополам, а значит, AO равно BO.

Теперь давайте рассмотрим углы треугольника ABC. Поскольку O - центр описанной окружности, угол в центре (угол AOB) вдвое больше угла у треугольника, который опирается на эту дугу. Таким образом, угол AOB = 2 * угол ACB.

Также известно, что углы при основании равнобедренного треугольника равны. Пусть углы при основании AB равны, то есть угол ABC = углу ACB.

Теперь мы имеем следующие равенства углов:

1. угол AOB = 2 * угол ACB (из свойства центрального угла и дуги) 2. угол ABC = угол ACB (из равнобедренности треугольника)

Теперь давайте рассмотрим возможные случаи:

1. Если угол ACB равен 90 градусов (треугольник прямоугольный), то угол AOB будет равен 180 градусов, и треугольник ABC будет прямоугольным.

2. Если угол ACB не равен 90 градусам, то мы можем поделить обе стороны уравнения (1) на 2: угол ACB = угол AOB / 2. Теперь у нас есть угол при основании, равный половине центрального угла. Это свойство соответствует свойству треугольника, у которого угол при основании равен половине центрального угла, что делает треугольник ABC равнобедренным.

Таким образом, мы доказали, что треугольник ABC либо прямоугольный, либо равнобедренный.