Question

Основания равнобедренной трапеции равны 12 см и 20 см, а ее диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции.

Answer 1

Если продлить основание вправо на длину верхнего, то получим треугольник, равновеликий трапеции
х- бок сторона
X^2+X^2=(20+12)^2
X=16 корней из 2
S= (16 корней из2)^2:2=256

Answer 2

Для решения задачи нам потребуются две формулы: формула площади треугольника и формула площади трапеции.

1. Формула площади треугольника: S = (a * h) / 2 Где S - площадь треугольника, a - длина основания треугольника, h - высота треугольника.

2. Формула площади трапеции: S = ((a + b) * h) / 2 Где S - площадь трапеции, a и b - длины оснований трапеции, h - высота трапеции.

Дано: исходная трапеция с основаниями равными 12 см и 20 см, а ее диагонали взаимно перпендикулярны.

Мы можем заметить, что диагонали трапеции являются высотами равнобедренных треугольников, образованных двумя основаниями и одной из диагоналей. По условию, диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому получаем прямоугольный треугольник.

По теореме Пифагора, известной для прямоугольного треугольника, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Рассмотрим треугольник, образованный меньшим основанием трапеции, большим основанием трапеции и одной из диагоналей:

h --------------- | / | / | / d1 | / |______________/ a b

где a = 12 см, b = 20 см, h - высота треугольника, d1 - диагональ трапеции.

Применяя теорему Пифагора к этому треугольнику, получаем: a^2 + h^2 = d1^2 (1)

Аналогично рассмотрим треугольник, образованный меньшим основанием трапеции, большим основанием трапеции и другой диагональю:

h --------------- | \ | \ | \ d2 | \ |_______________\ a b

где a = 12 см, b = 20 см, h - высота треугольника, d2 - другая диагональ трапеции.

Применяя теорему Пифагора к этому треугольнику, получаем: b^2 + h^2 = d2^2 (2)

Таким образом, мы получили систему уравнений (1) и (2), в которой исследуемые значения - d1 и d2.

Решая эту систему уравнений, можем найти значения d1 и d2.

d1 = √(a^2 + h^2) = √(12^2 + h^2) = √(144 + h^2)

d2 = √(b^2 + h^2) = √(20^2 + h^2) = √(400 + h^2)

Так как диагонали взаимно перпендикулярны, то d1 * d2 = 0.

Выразим одну переменную через другую и подставим в уравнение d1 * d2 = 0:

√(144 + h^2) * √(400 + h^2) = 0

Умножение двух ненулевых чисел дает ненулевой результат, поэтому:

144 + h^2 = 0 h^2 = -144

Вещественные числа не могут иметь отрицательные квадраты. Значит, такое значение h невозможно.

Таким образом, площадь данной трапеции равна 0.