Question

В равностороннем конусе сторона осевого сечения 8см. Найти Sполн конуса и V​

Answer 1

Решение приложено в картинке

Answer 2

Для нахождения площади полной поверхности \(S\) и объема \(V\) равностороннего конуса, нам нужны формулы, связывающие эти параметры с характеристиками конуса.

Для равностороннего конуса, основание которого — равносторонний треугольник, и высота проходит через центр основания, у нас есть следующие формулы:

1. Площадь полной поверхности \(S\): \[S = \pi r^2 + \pi r l,\] где \(r\) — радиус основания, а \(l\) — длина образующей конуса.

2. Объем \(V\): \[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h,\] где \(h\) — высота конуса.

Также у нас есть информация о стороне осевого сечения \(l = 8\ см\).

Так как конус равносторонний, то у него угол между образующей и радиусом основания составляет 60 градусов. Таким образом, можно использовать связь между радиусом и длиной образующей в равностороннем треугольнике:

\[l = 2r \sin\left(\frac{\pi}{3}\right).\]

Решим эту систему уравнений:

1. Найдем радиус \(r\): \[r = \frac{l}{2\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}.\]

2. Подставим \(r\) в формулы \(S\) и \(V\).

Теперь решим численно:

\[r = \frac{8}{2\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)} \approx \frac{8}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{3}}.\]

Теперь можем использовать найденное значение радиуса для нахождения площади полной поверхности \(S\) и объема \(V\):

1. Площадь полной поверхности \(S\): \[S = \pi \left(\frac{8}{\sqrt{3}}\right)^2 + \pi \left(\frac{8}{\sqrt{3}}\right) \cdot 8.\]

2. Объем \(V\): \[V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{8}{\sqrt{3}}\right)^2 \cdot h.\]

Эти формулы позволят вам вычислить значение площади полной поверхности и объема равностороннего конуса с известной стороной осевого сечения.