Question

Из точки к плоскости проведены две наклонные.Найдите длины наклонных, если проекции наклонных равны 12 см и 40 см:1)их сумма равна 56 см;2)их соотношение равно 15:41

Answer 1

Обозначим наклонные ВА и ВС,  ВН - перпендикуляр к  плоскости. 

АН=12 – проекция ВА

СН=40 – проекция ВС. 

Из прямоугольного ∆ АВН по т.Пифагора 

ВН²=АВ²-АН²

Из прямоугольного ∆ СВР по т.Пифагора 

ВН²=ВС²-СН²

Приравняем значения ВН²

 АВ²-АН²=ВС²-СН*

а) 

Примем АВ=х, тогда ВС=56-х ⇒

х²-144=56²-112х+х²-1600

112х=1680

АВ=х=15 см

ВС=56-15=41 см

б)

Примем коэффициент отношения наклонных равным а. 

Тогда 15а+41а=56 ⇒

а=1

АВ=15 см

ВС=41 см

Answer 2

Пусть две наклонные образуют угол α с осью Ox и угол β с осью Oy.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов длин проекций наклонных равна квадрату длины наклонной. То есть, (12)^2 + (40)^2 = (длина наклонной)^2.

1) Пусть длина одной наклонной равна a, а длина второй – b. Тогда сумма длин наклонных равна a + b. Из условия задачи, (a + b) = 56. Следовательно, a = 56 - b.

Подставим это значение в уравнение из теоремы Пифагора: (12)^2 + (40)^2 = (a)^2 + (b)^2.

Раскроем скобки: 144 + 1600 = a^2 + b^2.

Подставим a = 56 - b: 1744 = (56 - b)^2 + b^2.

Раскроем скобки: 1744 = 3136 - 112b + b^2 + b^2.

Упростим уравнение: 2b^2 - 112b + 1392 = 0.

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта: D = (-112)^2 - 4*2*1392 = 12544 - 11136 = 1408.

Дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два корня: b1 = (112 + √1408) / 4 ≈ 30.785, b2 = (112 - √1408) / 4 ≈ 81.215.

Так как a = 56 - b, то получаем: a1 ≈ 56 - 30.785 ≈ 25.215, a2 ≈ 56 - 81.215 ≈ -25.215.

Длина не может быть отрицательной, поэтому a2 нам не подходит. Итак, длины наклонных равны приближенно 30.785 см и 25.215 см.

2) Разделим длины проекций наклонных на 15 и 41, чтобы получить их соотношение. (12)/15 + (40)/41 = (a)/15 + (b)/41.

Сравним числитель и знаменатель: 41*(12) + 15*(40) = 15*(a) + 41*(b).

Решим это линейное уравнение относительно a: 492 + 600 = 15a + 41b.

1092 = 15a + 41b.

Переупорядочим уравнение: 41b = 1092 - 15a.

41b = 1080 - 15a.

41b = 15*(72 - a).

41/15*b = 72 - a.

Заметим, что (72 - a) является целым числом. Пусть (72 - a) = c. Тогда:

b = (15/41)*c, a = 72 - c.

Таким образом, при любом целом числе c, длины наклонных можно выразить формулами: b = (15/41)*c, a = 72 - c.

Например, при c = 0, получаем a = 72, b = 0. Если c = 41, то a = 31, b = 15. И так далее.