Question

Свойства равнобедренной трапеции + доказательство одного из свойств.

Answer 1

 Боковые стороны равны. Проведем две высоты, докажем, что они равны ( по двум элементам).

Answer 2

Равнобедренная трапеция — это четырехугольник, у которого две пары противоположных сторон равны, и углы между основаниями равны между собой. Давайте обозначим равные стороны как \(a\) и \(b\), а основания как \(AB\) и \(CD\), где \(AB\) — большее основание, \(CD\) — меньшее основание.

Свойства равнобедренной трапеции:

1. Основания параллельны: Стороны, противоположные основаниям, параллельны.

2. Углы при основаниях равны: \(\angle A = \angle B\), \(\angle C = \angle D\).

3. Диагонали равны: \(AC = BD\).

4. Средняя линия равна полусумме оснований: \(MN = \frac{1}{2}(AB + CD)\), где \(M\) и \(N\) — середины боковых сторон.

Теперь рассмотрим доказательство одного из этих свойств, например, что диагонали равны (\(AC = BD\)).

Доказательство:

Рассмотрим равнобедренную трапецию \(ABCD\) с равными основаниями \(AB\) и \(CD\), а боковыми сторонами \(AD\) и \(BC\).

1. Углы при основаниях равны: \(\angle A = \angle B\) и \(\angle C = \angle D\) (свойство равнобедренной трапеции).

2. Рассмотрим треугольники: Рассмотрим треугольники \(\triangle ABD\) и \(\triangle BAC\).

3. Стороны равны: \(AB = AD\) и \(BC = CD\) (по определению равнобедренной трапеции).

4. Углы равны: \(\angle A = \angle B\) (свойство равнобедренной трапеции).

5. По стороне-углу-стороне (СУС): Треугольники \(\triangle ABD\) и \(\triangle BAC\) равны.

6. Отсюда следует, что диагонали равны: \(AC = BD\) (по соответствующим сторонам равных треугольников).

Таким образом, мы доказали, что в равнобедренной трапеции диагонали \(AC\) и \(BD\) равны.