Question

В равносторонний треугольник вписана окружность радиуса 4 см. Чему равна сторона треугольника?

Answer 1

R=2S/3a
4=2*a^2√3/3*4*a
4=2a√3/12
a=12*4/2√3=24/√3=24√3/3=8√3

Answer 2

В равностороннем треугольнике вписанная окружность всегда касается всех трех сторон треугольника. Радиус вписанной окружности равен 4 см.

В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой. Пусть сторона треугольника равна а см.

Так как окружность касается сторон треугольника, то расстояние от центра окружности до каждой стороны треугольника равно радиусу окружности (4 см). Также, это расстояние является высотой треугольника.

В равностороннем треугольнике высота является биссектрисой и медианой одновременно. Поэтому, можно посчитать площадь треугольника двумя разными способами.

Способ 1: По формуле площади треугольника через высоту (S = (1/2) * a * h) S = (1/2) * a * 4 S = 2a

Способ 2: По формуле площади треугольника через стороны (S = (sqrt(3)/4) * a^2) S = (sqrt(3)/4) * a^2

Так как треугольник равносторонний, то площадь можно выразить через любую сторону треугольника (S = (sqrt(3)/4) * a^2 = 2a). Приравниваем две формулы площади: 2a = (sqrt(3)/4) * a^2

Домножаем обе части уравнения на 4: 8a = sqrt(3) * a^2

Делим обе части уравнения на a: 8 = sqrt(3) * a

Возводим обе части уравнения в квадрат: 64 = 3 * a^2

Делим обе части уравнения на 3: a^2 = 64/3

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения: a = sqrt(64/3)

Таким образом, сторона треугольника равна sqrt(64/3) см, что приближенно равно 6.93 см.