Question

Доказать признак: Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны,то он ромб.Помогите пожалуйста

Answer 1

Дано:

ABCD — параллелограмм,

AC и BD -диагонали,

AC=BD.

Доказать: ABCD — прямоугольник.

Доказательство:

 

1. Рассмотрим треугольники ABD и DCA (не забываем, что важно правильно назвать треугольники!).

1) AC=BD (по условию).

2) Сторона AD — общая.

3) AB=CD (как противолежащие стороны параллелограмма).

Следовательно, треугольники ABD и DCA равны (по трем сторонам).

2. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

∠BAD=∠CDA.

3. ∠BAD+∠CDA=180º.(как внутренние накрест лежащие углы при AB ∥ CD и секущей AD).

Пусть ∠BAD=∠CDA=xº, тогда

x+x=180

2x=180

x=90

4. Значит, ∠BAD=∠CDA=90º. Следовательно, ABCD — параллелограмм, у которого есть прямой угол. Отсюда, ABCD — прямоугольник ( по второму признаку прямоугольника).

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Давайте рассмотрим параллелограмм с перпендикулярными диагоналями и докажем, что он является ромбом.

Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. В параллелограмме диагонали делят друг друга пополам, и они пересекаются в центре параллелограмма. Также, если диагонали перпендикулярны, то это означает, что они образуют прямой угол друг с другом.

Теперь рассмотрим следующие свойства ромба:

1. Все стороны ромба равны. 2. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Из свойства параллелограмма о том, что диагонали делят друг друга пополам, следует, что если диагонали перпендикулярны, то они образуют прямой угол и делят ромб на четыре прямоугольных треугольника. Таким образом, у нас есть два прямых угла, которые делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Это означает, что углы в каждом углу ромба равны 90 градусам.

С учетом этих свойств мы видим, что параллелограмм с перпендикулярными диагоналями и равными углами 90 градусов является ромбом.

Таким образом, доказано, что если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то он является ромбом.