Question

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна десять корней из двух , и образует с основанием угол 45 градусов.Найти площадь трапеции если в неё можно вписать окружность

Answer 1

Опустим ВК⊥АD, ∠А=∠АВК=45°⇒ВК=АК
АВ²=2ВК²⇒ВК=√АВ²/2=10.
В четырехугольник можно вписать окружность тогда, когда суммы противоположных сторон четырехугольника равны.⇒
АВ+CD=BC+AD=2*10√2=20√2
S=BK*(BC+AD)/2 =10*(20√2)/2=100√2.

Answer 2

Давайте обозначим данную трапецию. Пусть \(ABCD\) — трапеция, где \(AB\) и \(CD\) — основания, \(BC = AD\) — боковая сторона, и угол между боковой стороной и основанием \(AB\) равен \(45^\circ\).

Также известно, что боковая сторона \(BC\) равна \(10\sqrt{2}\). Обозначим середину основания \(AB\) точкой \(M\). Тогда \(BM = MD\).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(BCD\). У нас есть катет \(BC = 10\sqrt{2}\) и угол \(45^\circ\) при вершине \(B\). Тогда по свойствам треугольника мы можем найти длины остальных сторон:

\[BD = BC \cdot \tan(45^\circ) = 10\sqrt{2} \cdot 1 = 10\sqrt{2}\]

Так как \(BM = MD\), то \(BM = MD = \frac{1}{2} \cdot BD = 5\sqrt{2}\).

Теперь у нас есть все необходимые стороны для поиска площади трапеции. Площадь трапеции можно вычислить по формуле:

\[S = \frac{1}{2} \cdot (AB + CD) \cdot h\]

где \(h\) — высота трапеции. В данном случае высота трапеции равна \(BM = 5\sqrt{2}\), а сумма оснований \(AB + CD\) равна \(BC + BD = 10\sqrt{2} + 10\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\).

Подставим значения в формулу:

\[S = \frac{1}{2} \cdot (AB + CD) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 20\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} = 50\]

Таким образом, площадь трапеции равна \(50\).