Question

Найдите геометрическое место центов окружностей, проходящие через две данные точки.

Answer 1

Пусть окружность проходит через две данные точки A и B, а  O - центр окружности, тогда OA=OB. То есть достаточно найти ГМТ точек O таких, что треугольник OAB равнобедренный с основанием AB. Заметим, что высота, проведенная из O, совпадает с медианой, проведенной из O, тогда если X - середина AB, то X также основание высоты, проведенной из O. Тогда точка O может лежать на прямой, перпендикулярной AB, и проходящей через X.

Answer 2

Геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки, представляет собой прямую, которая проходит через середины отрезков, соединяющих данные точки. Эта прямая называется серединным перпендикуляром.

Для нахождения серединного перпендикуляра, нужно выполнить следующие шаги: 1. Найти середину отрезка, соединяющего две данные точки. Для этого нужно найти среднее значение координат x и y каждой точки. 2. Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки. Для этого нужно вычислить разность координат y и разность координат x между двумя точками, а затем разделить разность координат y на разность координат x. 3. Используя середину отрезка и угловой коэффициент, построить уравнение прямой в форме y = mx + b, где m - угловой коэффициент, b - свободный член. 4. Найти перпендикулярный угловой коэффициент, инвертировав и изменяя знак углового коэффициента прямой. 5. Используя середину отрезка и перпендикулярный угловой коэффициент, построить уравнение перпендикулярной прямой в форме y = mx + b. 6. Геометрическое место центров окружностей будет представлять собой прямую, заданную уравнением перпендикулярной прямой.

Пример: Пусть даны две точки A(1, 2) и B(3, 4). Чтобы найти геометрическое место центров окружностей, проходящих через эти точки, выполним следующие шаги:

1. Найдем середину отрезка AB: - x-координата середины: (1 + 3) / 2 = 2 - y-координата середины: (2 + 4) / 2 = 3

2. Найдем угловой коэффициент прямой AB: - Разность координат y: 4 - 2 = 2 - Разность координат x: 3 - 1 = 2 - Угловой коэффициент: 2 / 2 = 1

3. Построим уравнение прямой AB: - y = mx + b - Подставим координаты одной из точек (например, A): 2 = 1 * 1 + b b = 1

- Уравнение прямой AB: y = x + 1

4. Найдем перпендикулярный угловой коэффициент: - Инвертируем и изменяем знак углового коэффициента прямой AB: -1

5. Построим уравнение перпендикулярной прямой: - y = mx + b - Подставим координаты середины отрезка AB: 3 = -1 * 2 + b b = 5

- Уравнение перпендикулярной прямой: y = -x + 5

6. Геометрическое место центров окружностей будет представлять собой прямую, заданную уравнением перпендикулярной прямой: y = -x + 5.

Таким образом, геометрическое место центров окружностей, проходящих через точки A(1, 2) и B(3, 4), будет представлять собой прямую y = -x + 5.