Question

Доказать теорему о средней линии треугольника

Answer 1

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий средины двух его сторон.
ТЕОРЕМА: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Пусть дан Δ АВС и его средняя линия ЕД.
Проведем прямую параллельную стороне АВ через точку Д. По теореме Фалеса она пересекает отрезок АС в его середине, т. е. совпадает с ДЕ. Значит, средняя линия параллельна АВ.
Проведем теперь среднюю линию ДФ. Она параллельна стороне АС. Четырехугольник АЕДФ – параллелограмм. По свойству параллелограмма ЕД=АФ, а так как АФ=ФВ по теореме Фалеса, то ЕД = ? АВ. Теорема доказана.
где написано Д и Ф пиши по английски

Answer 2

Теорема о средней линии треугольника (или теорема о медиане) гласит, что в треугольнике медиана, проведенная из вершины к середине противоположной стороны, делит эту сторону пополам, и её длина равна половине длины этой стороны.

Давайте обозначим треугольник как ABC, где стороны обозначаются a, b и c (сторона a противолежит вершине A, сторона b противолежит вершине B, и сторона c противолежит вершине C).

Также пусть M - середина стороны BC, то есть точка, где медиана из вершины A пересекает сторону BC.

Теперь рассмотрим треугольники AMC и BMC. Сторона AC - общая для обоих треугольников. Сторона AM равна BM, так как обе являются медианами и делят сторону BC пополам. Также у них равны углы при вершине A и при вершине B, так как они соответственные углы.

По стороне-углу-стороне (СУС) треугольники AMC и BMC равны, следовательно, угол при вершине C также равен. Таким образом, углы при вершинах A, B и C в треугольнике ABC равны, и треугольник ABC является равносторонним.

Теперь, так как треугольник ABC равносторонний, то медиана AM также является высотой и медианой, а значит, она делит сторону BC пополам.

Таким образом, теорема о средней линии треугольника доказана: медиана треугольника делит сторону, к которой она проведена, пополам, и её длина равна половине длины этой стороны.