Question

Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине В и бессиктриса угла С треугольника АВС пересекаются под углом 1/2 угла АСтороны параллелограмма относятся как 3:4,а его периметр равен 28 см)Найдите стороны параллелограмма

Answer 1

Задача 1
 Внешний угол B треугольника равен  180° - ∠ B
   Биссектриса ВК делит этот угол пополам ( отмечены на рис. синими дугами)
  ∠КВА = (180° -  ∠B)/2= 90°-  (∠B)/2
   ∠ КВС = ∠ КВА + ∠АВС= 90° - (∠B)/2 +∠ B= 90° + (∠ B)/2
   Биссектриса КС делит угол С пополам.
 ∠ КСВ = ∠ (С/2)
   Сумма углов треугольника КВС равна 180°
∠ ВКС = 180° - ∠КВС - ∠КСВ= 180° - 90° - (∠ B)/2 - (∠C/2)= 90° -(∠ B+∠C)/2=

= (180° - ∠ B -  ∠C)/2 = (∠A)/2
Задача 2
Стороны параллелограмма относятся как 3:4,а его периметр равен 28 см.
Найдите стороны параллелограмма
Пусть одна сторона параллелограмма 3х, другая 4х, тогда периметр равен 3х+3х+4х+4х=14х
А по условию задачи 28
Составляем уравнение
14х=28
х=2
Одна сторона  3х= 3·2= 6 см , другая сторона 4х= 4·2= 8 см
Ответ. 6 см и 8 см

Answer 2

Для доказательства, что биссектриса внешнего угла при вершине B и биссектриса угла C треугольника ABC пересекаются под углом, равным половине угла A, мы можем использовать свойства биссектрис треугольника.

Свойства биссектрис треугольника

1. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные смежным сторонам. 2. Биссектриса внешнего угла треугольника делит продолжение противолежащей стороны на отрезки, пропорциональные смежным сторонам.

Доказательство

Пусть биссектриса внешнего угла при вершине B и биссектриса угла C треугольника ABC пересекаются в точке D. Мы должны доказать, что угол ADB равен половине угла A.

Из свойства 1 биссектрисы угла C, мы знаем, что:

AB/AC = BD/DC

Из свойства 2 биссектрисы внешнего угла B, мы знаем, что:

AB/AC = BE/EC

где E - точка пересечения продолжений стороны AC и биссектрисы внешнего угла B.

Из этих двух равенств, мы можем сделать вывод, что:

BD/DC = BE/EC

Поскольку BD/DC = BE/EC, а BD + DC = BE + EC (по построению), то треугольники BDC и BEC подобны.

Теперь давайте рассмотрим угол ADB. Поскольку треугольники BDC и BEC подобны, углы BDC и BEC равны. Таким образом, угол ADB равен половине угла A.

Найдите стороны параллелограмма

По условию, стороны параллелограмма относятся как 3:4, а его периметр равен 28 см.

Пусть x будет длиной меньшей стороны параллелограмма, а y - длиной большей стороны.

Согласно условию, у нас есть следующее уравнение:

3x + 4y = 28

Мы также знаем, что противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому:

x + y = 14

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения x и y.

Решая первое уравнение относительно x, мы получаем:

x = (28 - 4y)/3

Подставляем это значение во второе уравнение:

(28 - 4y)/3 + y = 14

Упрощаем:

28 - 4y + 3y = 42

-y = 14

y = -14

Однако отрицательная длина стороны не имеет смысла, поэтому это решение не подходит.

Таким образом, для заданных условий не существует параллелограмма, удовлетворяющего условию.