Question

Медиана равнобедренего треугольника делит его периметр части 21 см и 30 см.Найдите стороны этого треугольника.

Answer 1

AB=BC=a; AC=b. Если бы медиана была проведена из вершины B, периметр был бы разделен пополам. Пусть она проведена из вершины A. Получаем части периметра a+a/2=3a/2 и c+a/2.

Первый случай. 3a/2=21; c+a/2=30. Из первого равенства получаем a/2=7; a=14. Подставив a/2=7 во второе равенство, находим c:
c+7=30; c=23. На всякий случай проверяем неравенство треугольника (сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны); достаточно проверить, что две самые маленькие стороны больше третьей:  14+14=28>23

Второй случай. 3a/2=30; c+a/2=21⇒a/2=10; a=20; c=11

Ответ: 14; 14; 23  или 20; 20; 11 

Answer 2

Давайте обозначим стороны равнобедренного треугольника через \(a\), \(b\) и \(c\), где \(a\) и \(b\) - равные стороны, а \(c\) - основание.

Мы знаем, что медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, делит его на два равных треугольника. Таким образом, мы можем сказать, что медиана равна половине длины основания.

Пусть \(m\) - медиана, \(c\) - основание, и \(a\), \(b\) - равные стороны. Тогда у нас есть следующие уравнения:

\[m = \frac{c}{2}\] \[a + b + c = 21 + 30\]

Мы также знаем, что медиана делит периметр треугольника на две равные части:

\[a + b + m = \frac{1}{2}(a + b + c)\]

Теперь мы можем подставить первое уравнение в последнее и решить систему уравнений:

\[a + b + \frac{c}{2} = \frac{1}{2}(a + b + c)\]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[2a + 2b + c = a + b + c\]

Теперь выразим одну из сторон через другую:

\[a + b = c\]

Теперь подставим это в уравнение для периметра:

\[c + c = 21 + 30\]

\[2c = 51\]

\[c = 25.5\]

Теперь, зная значение \(c\), мы можем найти стороны \(a\) и \(b\):

\[a + b = 25.5\]

Поскольку \(a\) и \(b\) - равные стороны, мы можем поделить эту сумму на 2:

\[a = b = \frac{25.5}{2} = 12.75\]

Итак, стороны равнобедренного треугольника равны 12.75 см, 12.75 см и 25.5 см.