Question

Отрезок прямой , параллельной основания трапеции , заключенный внутри трапеции , разбивается диагоналями на 3 отрезка. Докажите, что крайние из них равны между собой.

Answer 1

Если прямая проходит ниже точки пересечения диагоналей, то крайние из них являются отрезками, пропорциональными малому основанию. При этом коэффициент пропорциональности определяется расстоянием прямой от большого основания. см.чертеж

Если эта прямая (параллельная основаниям) EN делит высоту трапеции, или диагональ, или боковую строну, или любой другой отрезок прямой, концы которого лежат на разных основаниях трапеции, в следующем отношении -

(К примеру) AE/AB = q 

то крайние отрезки будут иметь длину

ЕР = MN = q*b,

где b = BC - малое основание. 

Все это следует из простого подобия пар треугольников (ABC и AEP) и (DMN и DBC), а так же теоремой о пропорциональности отрезков секущих между параллельными прямыми (из чего следует, что MD/BD = ND/CD = AP/AC = q). 

Для прямых, проходящих выше точки пересечения диагоналей, рассматриваются треугольники, у которых основанием является большое основание трапеции. С тем же результатом :)))

Answer 2

Для доказательства равенства крайних отрезков, образованных диагоналями внутри трапеции, мы можем использовать свойства подобных треугольников.

Пусть у нас есть трапеция ABCD, где AB и CD являются параллельными основаниями, а AC и BD - диагонали, разбивающие внутренний отрезок на три части. Обозначим точку пересечения диагоналей как O.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники AOB и COD. Они оба имеют общую сторону AO и вертикальные углы OAB и ODC. 2. Используя свойство вертикальных углов, мы можем заключить, что угол OAB равен углу ODC. 3. Также, поскольку AB и CD являются параллельными, то угол AOB равен углу COD. 4. Следовательно, мы имеем два треугольника с двумя равными углами и общей стороной AO, что делает их подобными треугольниками. 5. По свойству подобных треугольников, соответствующие стороны треугольников AOB и COD пропорциональны. 6. Так как у нас есть три отрезка, образованных диагоналями внутри трапеции, два из них - AO и BO, и они являются соответствующими сторонами подобных треугольников AOB и COD. 7. Следовательно, эти два отрезка AO и BO пропорциональны друг другу. 8. Таким образом, крайние отрезки, образованные диагоналями внутри трапеции, равны между собой.

Это доказывает, что крайние отрезки, образованные диагоналями внутри трапеции, равны друг другу.