Question

В прямоугольном треугольнике АВС угол С-прямой,разность ВА-ВС равно 7,5 см.Найдите гипотенузу АВ,если угол А равен 30 градусам

Answer 1

В прямоугольном треугольнике ABC:
AB - гипотенуза
BC - катет
AC - катет

Катет BC противолежит углу А = 30°, такой катет равен половине гипотенузы ⇒ BC = AB/2 

AB - BC = 7,5 
BC = AB - 7,5

AB/2 = AB - 7,5
AB = 2AB - 15
2AB - AB = 15
AB = 15

Answer 2

Давайте обозначим стороны прямоугольного треугольника ABC следующим образом:

- Пусть AB - гипотенуза, BC - катет, и AC - второй катет (противоположный прямому углу).

Также у нас есть информация о разности длин сторон VA (гипотенуза) и VC (второй катет):

\[ VA - VC = 7.5 \, \text{см} \]

Теперь у нас есть еще одна важная информация: угол A равен 30 градусам.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике с углом A = 30 градусов, отношение сторон противоположенного угла к гипотенузе равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Таким образом, соотношение сторон в треугольнике ABC будет следующим:

\[ \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Теперь мы можем использовать информацию о разности сторон VA и VC:

\[ VA - VC = AB - AC = 7.5 \, \text{см} \]

Также у нас есть соотношение сторон:

\[ \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Мы можем выразить AC через AB:

\[ AC = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot AB \]

Теперь мы можем подставить это выражение в уравнение о разности сторон:

\[ AB - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot AB = 7.5 \, \text{см} \]

Сгруппируем подобные члены:

\[ \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot AB = 7.5 \, \text{см} \]

Теперь найдем значение AB:

\[ AB = \frac{7.5 \, \text{см}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} \]

Чтобы упростить это выражение, мы можем умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение:

\[ AB = \frac{7.5 \, \text{см} \cdot (1 + \frac{\sqrt{3}}{2})}{1 - \frac{3}{4}} \]

\[ AB = \frac{7.5 \, \text{см} \cdot (2 + \sqrt{3})}{\frac{1}{4}} \]

\[ AB = 30 \, \text{см} \cdot (2 + \sqrt{3}) \]

\[ AB = 60 + 30\sqrt{3} \, \text{см} \]

Таким образом, гипотенуза \(AB\) прямоугольного треугольника равна \(60 + 30\sqrt{3}\) см.