Question

Точки А,B,C,D не лежат в одной плоскости. К и М-точки пересечения медиан треугольников ABD и ВСD соответственно. Докажите, что четырёхугольник АКМС является трапецией. Вычислите длину отрезка АС, если КМ=6см.

Answer 1

Фото::::::::::::::::::::::::::::::::

Answer 2

Для начала, давайте рассмотрим четырехугольник AKMS. У нас есть следующая информация:

1. Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. 2. K и M - точки пересечения медиан треугольников ABD и BCD соответственно.

Теперь, чтобы доказать, что четырехугольник AKMS является трапецией, нужно показать, что у него есть хотя бы одна пара параллельных сторон.

Для этого рассмотрим медиану треугольника ABD, проходящую через точку K. Пусть E - середина стороны AB. Так как медиана делит сторону пополам, то KE = EA.

Аналогично, рассмотрим медиану треугольника BCD, проходящую через точку M. Пусть F - середина стороны BC. Также FM = MC.

Теперь обратим внимание на треугольники AKE и CMF. Мы знаем, что KE = EA и FM = MC. Кроме того, у нас есть информация о том, что точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. Это означает, что отрезки AE и CF не параллельны.

Теперь рассмотрим угол AKE и угол CMF. Так как AE и CF не параллельны, углы AKE и CMF не равны. Однако эти углы соответственные углы при равных сторонах (KE = EA и FM = MC).

Теперь рассмотрим углы AKC и AMB. Они также соответственные углы при равных сторонах (KC = KB и MB = MD).

Таким образом, у нас есть две пары соответственных углов в четырехугольнике AKMS, что говорит о том, что стороны AK и MS параллельны. Следовательно, четырехугольник AKMS является трапецией.

Теперь посчитаем длину отрезка AC. Из свойств медиан треугольников ABD и BCD мы знаем, что AE = \(\frac{1}{2}\)AB и CF = \(\frac{1}{2}\)BC. Также из условия KM = 6 см. Тогда AC = AE + EC + CF = \(\frac{1}{2}\)AB + BC + \(\frac{1}{2}\)BC = \(\frac{1}{2}\)(AB + BC) + BC = \(\frac{3}{2}\)BC.

Таким образом, если KM = 6 см, то AC = \(\frac{3}{2}\) * 6 = 9 см.