Question

основанием прямой призмы является правильный треугольник со стороной, равной 10 см, а боковое ребро 13 см. Найдите площадь полной поверхности прямой призмы.

Answer 1

Дано: $ABCA_1B_1C_1$ - прямая призма, ABC$ABC=A_1B_1C_1$ - прявильные треугольники, AB = 10 см, $AA_1$ = 13 см.

Найти: S пол.пов.

Решение:

1) S полн.пов. =  2 * S оснований + 3 * S бок.пов.

2) ABC$ABC=A_1B_1C_1$ - прявильные треугольники (по условию), значит, все их стороны равны. Раз одна сторона равна 10 см, то каждая из остальные стороны равны 10 см.

Найдем площадь ABC. Для этого проведем высоту  BH из вершины B (можно из любой вершины) в основанию, при этом высота будет являться и медианой, и биссектрисой одновременно, значит, AH=AC. Образовались два прямоугольных треугольника, рассмотрим треугольник ABH. 

Т.к. AH=AC, то AH = 10:2=5 см.

По теореме Пифагора найдем BH:

$AB^2=AH^2+BH^2\\ BH^2=AB^2-AH^2\\ BH^2=100-25\\ BH^2=75\\ BH=5\sqrt{3}$

Теперь найдем площадь ABC: 

$\frac{1}{2}*BH*AC=\frac{1}{2}*5\sqrt{3}*10=25\sqrt{3}$ кв.см.

2) Грани $AA_1C_1C=AA_1B_1B=BB_1C_1C$

т.к. призма прямая, и её грани - равные прямоугольники. 

Найдем площадь любой из этих граней: 10*13=130 кв.см.

Тогда S бок.пов.=3*130=390 кв.см

3) S оснований = $2*25\sqrt{3}=50\sqrt{3}$ кв.см.

4) S полн. пов. = $390+50\sqrt{3}$ кв.см.

Ответ: $390+50\sqrt{3}$ кв.см.

Answer 2

Для нахождения площади полной поверхности прямой призмы, нужно сложить площади всех её боковых поверхностей, а также площадь основания.

Площадь боковой поверхности прямой призмы

Боковая поверхность прямой призмы представляет собой прямоугольник, высота которого равна высоте призмы, а ширина равна периметру основания. В данном случае, основание - правильный треугольник, сторона которого равна 10 см. Таким образом, периметр основания равен \(3 \times 10 = 30\) см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы можно найти по формуле: \(S_{\text{бок}} = \text{периметр основания} \times \text{высота}\).

В данном случае, высота призмы равна длине бокового ребра, то есть 13 см. Подставим значения в формулу:

\(S_{\text{бок}} = 30 \times 13 = 390\) см².

Площадь основания

Основание прямой призмы - правильный треугольник, для которого мы можем найти площадь, используя формулу для площади треугольника.

Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле: \(S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \text{сторона}^2\).

В данном случае, сторона равна 10 см. Подставим значения в формулу:

\(S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 10^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 100 = \frac{\sqrt{3} \times 100}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{1} = 25\sqrt{3}\) см².

Площадь полной поверхности прямой призмы

Чтобы найти площадь полной поверхности прямой призмы, нужно сложить площади боковой поверхности и основания.

\(S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2 \times S_{\text{осн}}\).

Подставим значения:

\(S_{\text{полн}} = 390 + 2 \times 25\sqrt{3} = 390 + 50\sqrt{3}\) см².

Таким образом, площадь полной поверхности прямой призмы равна \(390 + 50\sqrt{3}\) см².