Question

Докажите, что в два прямоугольных треугольника равны, если катеты одного соответственно равны катетам другого.

Answer 1

А угол между катетами равен?( прямые углы равны в треугольниках?)

Answer 2

Пусть у нас есть два прямоугольных треугольника: ABC и DEF. Пусть AC и DF - их катеты соответственно.

Для начала, заметим, что по определению прямоугольного треугольника, катеты перпендикулярны между собой.

Пусть AC = DF = a, тогда по теореме Пифагора для треугольника ABC получаем гипотенузу BC:

BC^2 = AB^2 + AC^2 = AB^2 + a^2

Аналогично, для треугольника DEF получаем гипотенузу EF:

EF^2 = DE^2 + DF^2 = DE^2 + a^2

Из условия задачи следует, что AC = DF, значит a = a, и мы можем записать:

BC^2 = AB^2 + a^2 EF^2 = DE^2 + a^2

Теперь предположим, что BC ≠ EF. Пусть BC > EF (случай BC < EF аналогичен). Тогда BC^2 > EF^2.

AB^2 + a^2 > DE^2 + a^2

AB^2 > DE^2

Так как AB^2 > DE^2, а AB и DE - стороны треугольников, получаем, что треугольник ABC имеет большую гипотенузу, чем треугольник DEF.

Но по условию катеты этих треугольников равны, следовательно, гипотенузы треугольников также должны быть равны.

Таким образом, мы пришли к противоречию, и предположение о том, что BC ≠ EF, неверно.

Значит, BC = EF.

Аналогичными рассуждениями можно доказать, что и другие стороны треугольников равны.

Таким образом, если катеты одного прямоугольного треугольника равны катетам другого треугольника, то эти треугольники равны.