Question

Даны точки A(2;3),B(5;5),C(8;3),D(5;1). докажите что отрезки ac и bd пересекаются и точкой пересечения и делятся пополам.

Answer 1

1)Найдем координаты середины отрезка АС, как полусуммы соответствующих координат точек А и С:

(2+8)/2=5

(3+3)/2=3, значит, координаты середины АС - это(5;3).

2) Найдем координаты середины отрезка BD, как полусуммы соответствующих координат точек B и D:

(5+5)/2=5

(5+1)/2=3, значит, координаты середины BD - это(5;3).

3)Координаты середин отрезков AC и BD совпали, следовательно, отрезки пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Answer 2

Для доказательства того, что отрезки AC и BD пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, мы можем использовать свойства серединного перпендикуляра.

Первым шагом найдем координаты точек M и N, которые являются серединами отрезков AC и BD соответственно. Координаты середины отрезка AC можно найти, взяв среднее арифметическое координат точек A и C:

M = ((x_A + x_C) / 2, (y_A + y_C) / 2) = ((2 + 8) / 2, (3 + 3) / 2) = (5, 3)

Аналогично, координаты середины отрезка BD можно найти:

N = ((x_B + x_D) / 2, (y_B + y_D) / 2) = ((5 + 5) / 2, (5 + 1) / 2) = (5, 3)

Теперь у нас есть две точки M(5, 3) и N(5, 3), которые совпадают. Это означает, что отрезки AC и BD пересекаются в точке с координатами (5, 3).

Чтобы доказать, что отрезки пересекаются и делятся пополам, нам нужно установить, что отрезок AM равен отрезку MC и отрезок BN равен отрезку ND.

Длина отрезка AM можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками:

d = sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)

Длина отрезка AM:

d_AM = sqrt((x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2) = sqrt((5 - 2)^2 + (3 - 3)^2) = sqrt(3^2 + 0^2) = sqrt(9) = 3

Длина отрезка MC:

d_MC = sqrt((x_M - x_C)^2 + (y_M - y_C)^2) = sqrt((5 - 8)^2 + (3 - 3)^2) = sqrt((-3)^2 + 0^2) = sqrt(9) = 3

Таким образом, длина отрезка AM равна длине отрезка MC.

Аналогично, длина отрезка BN равна длине отрезка ND:

d_BN = sqrt((x_N - x_B)^2 + (y_N - y_B)^2) = sqrt((5 - 5)^2 + (3 - 1)^2) = sqrt(0^2 + 2^2) = sqrt(4) = 2

d_ND = sqrt((x_N - x_D)^2 + (y_N - y_D)^2) = sqrt((5 - 5)^2 + (3 - 1)^2) = sqrt(0^2 + 2^2) = sqrt(4) = 2

Таким образом, длина отрезка BN равна длине отрезка ND.

Исходя из этих результатов, мы можем заключить, что отрезки AC и BD пересекаются в точке (5, 3) и делятся пополам.