Question

В гострокутному трикутнику АВС проведені висоти АD ,BE , CF . Доведіть , що трикутник АВС рівносторонній , якщо утворений чотирикутник FBDE — ромб

Answer 1

По условию, FBDE - ромб ⇒ FB = BD = DE = FE и ∠DBE = ∠BFE.

Пусть $\angle BCA=\alpha$, BE - высота треугольника ABC и биссектриса острых углов ромба FBDE , то ΔABC - равнобедренный ⇒ ∠BAC = ∠BCA = α.

Отрезок АС виден под прямыми углами, следовательно, точки A, F, D, C лежат на окружности ⇒ DE - медиана и радиус окружности, следовательно, DE = EC  ⇒  ΔDEC - равнобедренный ⇒

∠EDC = ∠DCE = α. Тогда ∠DBE = 180° - α. Известно, что сумма углов четырехугольника равна 360°.

2∠FBD + 2∠DBE = 360°

2∠FBD + 360° - 2α = 360°

∠FBD = α

Таким образом, ∠A = ∠B = ∠C ⇒ ΔABC - равносторонний.

Answer 2

Відповідаю докладно. В гострокутному трикутнику АВС проведені висоти АD, BE, CF. Доведіть, що трикутник АВС рівносторонній, якщо утворений чотирикутник FBDE — ромб.

Розв'язання:

1) Нехай АВС - даний гострокутний трикутник, в якому проведені висоти АD, BE, CF. Нехай FBDE - ромб, утворений точками перетину висот. За умовою задачі, FB = BD = DE = EF. 2) Розглянемо трикутники АВD і АСD. Оскільки АD - висота трикутника АВС, то ∠АDB = ∠АDC = 90°. Оскільки FBDE - ромб, то ∠FBD = ∠EDC = 90°. Отже, ∠АВD = ∠АСD. Крім того, АD - спільна сторона для цих трикутників. За теоремою про два кути і сторону, отримуємо, що АВ = АС. 3) Аналогічно можна довести, що ВС = ВА. Отже, АВ = АС = ВС. За означенням, трикутник АВС - рівносторонній. ∎

Джерела:

- [Формули та властивості трикутників](https://ua.onlinemschool.com/math/formula/triangle/) - [Формули для знаходження площі трикутника](https://subject.com.ua/textbook/mathematics/9klas_6/10.html)