Question

Основания равнобокой трапеции равны 3 см и 7 см, а диагональ делит тупой угол трапеции пополам. Найдите периметр трапеции.

Answer 1

Диагональ АС биссектриса угла С ( см. рисунок), значит ∠ 1=∠ 2.

∠ 1=∠ 3 как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей АС.
Значит ∠ 2=∠3 и треугольник ACD - равнобедренный AD=CD=7 cм.
Трапеция  ABCD - равнобедренная AB=CD=7 cм
Ответ Р (трапеции)=7+7+7+3=24 см.

Answer 2

Пусть основания равнобокой трапеции равны 3 см и 7 см, а диагональ делит тупой угол трапеции пополам.

Обозначим основания трапеции как a и b, где a = 3 см и b = 7 см.

Также обозначим диагональ трапеции как d.

Поскольку диагональ делит тупой угол пополам, то получаем два прямоугольных треугольника.

Для одного из треугольников, его катеты равны a/2 = 3/2 см и h, где h - высота трапеции.

Используя теорему Пифагора, получаем: (3/2)^2 + h^2 = d^2.

Для второго треугольника, его катеты равны b/2 = 7/2 см и h.

Снова применяя теорему Пифагора, получаем: (7/2)^2 + h^2 = d^2.

Поскольку диагональ делит тупой угол пополам, то диагональ является медианой трапеции и делит ее на два равных треугольника.

Таким образом, d является средним геометрическим между a и b: d = √(a * b) = √(3 * 7) = √21 см.

Подставим значение d в уравнения для треугольников:

(3/2)^2 + h^2 = (√21)^2,

9/4 + h^2 = 21,

h^2 = 21 - 9/4,

h^2 = 84/4 - 9/4,

h^2 = 75/4.

Теперь найдем высоту h:

h = √(75/4) = √75/√4 = √(25 * 3)/2 = 5√3/2.

По определению трапеции, периметр равен сумме всех сторон.

Периметр трапеции равен: a + b + 2h.

Подставим значения a = 3 см, b = 7 см и h = 5√3/2:

Периметр = 3 + 7 + 2 * (5√3/2) = 3 + 7 + 5√3 = 10 + 5√3 см.

Таким образом, периметр трапеции равен 10 + 5√3 см.