Question

Из точки М биссектрисы не развёрнутого угла О проведены перпендикуляры МА и МВ к сторонам этого угла. докажите, что АВ перпендикулярна ОМ.

Answer 1

По теореме о биссектрисе угла каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон, значит МА=МВ.
Два прямоугольных треугольника ОАМ и ОВМ равны по гипотенузе (ОМ общая) и катетам (МА и МВ). Значит ОА=ОВ, и треугольник АОВ - равнобедренный.
По условию ОМ - биссектриса. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является и высотой. Значит высота ОМ перпендикулярна основанию АВ.

Answer 2

Для доказательства того, что AB перпендикулярна ОМ, мы можем использовать свойство биссектрисы угла.

По условию, МА и МВ являются перпендикулярами к сторонам угла О. Давайте обозначим точку пересечения МА и МВ как точку К.

Так как МА и МВ являются перпендикулярами к сторонам угла О, то угол МОК будет прямым углом, так как перпендикуляры образуют прямой угол.

Также, по определению биссектрисы, МК будет являться биссектрисой угла ОМВ.

Теперь рассмотрим треугольник АКВ. В этом треугольнике угол КАМ является углом между биссектрисой и стороной угла ОМВ. Следовательно, угол КАМ будет равным половине угла ОМВ.

Но угол КАМ также будет равным углу МОК, так как они являются смежными углами и оба равны прямому углу.

Из этих двух фактов следует, что угол ОМВ также будет равен углу МОК. И это означает, что сторона АВ будет параллельна стороне МК.

Но угол МОК является прямым углом, так как МА и МВ являются перпендикулярами к сторонам угла О. Следовательно, сторона АВ будет перпендикулярна стороне ОМ.

Таким образом, мы доказали, что AB перпендикулярна ОМ, используя свойство биссектрисы угла и факт, что МА и МВ являются перпендикулярами к сторонам угла О.