Question

Площина α перетинає сторони АВ і ВС трикутника АВС в точ­ках М і N відповідно і паралельна стороні АС. Знайти сторону АС трикутника, якщо АС – MN = 8 см, ВМ : МА = 2:1.

Answer 1

AB=2+1=3;⇒AB/MB=AC/MN=3/2;⇒MN=2/3AC;
AC-MN=8 ⇒AC-2/3AC=8;⇒1/3AC=8;⇒AC=3·8=24(см)

Answer 2

Давайте позначимо довжини сторін трикутника ABC. Нехай AB = a, BC = b, і AC = c.

Оскільки площина α паралельна стороні AC і перетинає її в точках M і N, то вони розбивають сторону AC на три частини: AM, MN і NC.

За умовою маємо, що AM:MN = VM:MA = 2:1.

Також задано, що AC - MN = 8 см.

Розглянемо трикутники AMN і ABC.

За властивістю подібних трикутників, відомо, що відношення довжин відповідних сторін подібних трикутників однакове. Таким чином, маємо:

\(\frac{AM}{VM} = \frac{MN}{MA} = \frac{AN}{VA}.\)

Оскільки AM:MN = 2:1, то можемо позначити AM = 2x і MN = x.

Також маємо AC - MN = 8, тобто c - x = 8.

Тепер розглянемо трикутник ABC:

\(\frac{AM}{VM} = \frac{MN}{MA} = \frac{AN}{VA} = \frac{c-x}{b}.\)

Знаємо, що AM:VM = 2:1, тому AM = 2x, і VM = x.

Також маємо MN:MA = 1:1, тобто MN = x, і MA = x.

Підставимо ці значення в вираз:

\(\frac{2x}{x} = \frac{x}{c-x}.\)

Знайдемо значення x:

\(2 = \frac{x}{c-x}.\)

Розв'яжемо це рівняння відносно x:

\(2(c - x) = x.\)

\(2c - 2x = x.\)

\(3x = 2c.\)

\(x = \frac{2c}{3}.\)

Тепер підставимо це значення x у вираз для c - x = 8:

\(c - \frac{2c}{3} = 8.\)

\( \frac{c}{3} = 8.\)

\(c = 24.\)

Отже, довжина сторони AC трикутника ABC дорівнює 24 см.