Question

Плоский угол при вершине правильной четырёхугольной пирамиды равен альфа, а боковое ребро равно L. Найти объём конуса вписанного в пирамиду!!!

Answer 1

Пирамида правильная, значит в основании квадрат и боковые ребра равны между собой и равны L. Высота проецируется в центр основания - точку пересечения диагоналей квадрата - О.
SO - высота пирамиды, ∠CSD = α - плоский угол при вершине.
Если конус вписан в пирамиду, то его высота совпадает с высотой пирамиды, а основание - круг, вписанный в основание пирамиды.

ΔCSD: по теореме косинусов
CD² = CS² + DS² - 2CS·DS·cosα = L² + L² - 2·L·L·cosα = 2L²·(1 - cosα)
CD = L√(2(1 - cosα))
Радиус круга, вписанного в квадрат, равен половине стороны квадрата:
r = CD/2 = L√(2(1 - cosα)) / 2 - радиус основания конуса.
CO = AC/2 = CD√2/2 = 2L√(1 - cosα)/4 = L√(1 - cosα)
Из треугольника COS по теореме Пифагора
SO = √(SC² - OC²) = √(L² - L²(1 - cosα)) = L√cosα
Vц = 1/3 · πr² · SO = 1/3 · π ·L²(2(1 - cosα))/4 · L√cosα = πL³ (1 - cosα)√cosα/6
Воспользуемся формулой синуса половинного угла: 2sin²(α/2) = 1 - cosα:
Vц = πL³sin²(α/2)√cosα / 3