Question

Дано: Треугольник АВС, точка D на стороне ВС, точка Е на стороне АС, точка О- в пересечении ВЕ и АD ВD=DC, AE:CE= 1:3, площадьDOEC=9 Найти площадь АВС

Answer 1

Отличная задача, я даже не верил, что условие правильное, пока не сообразил :)))

Пусть S - площадь DOEC; S =9;

Если я пишу SAEO, то это площадь треугольника АЕО. Если у треугольников высота общая, то площади относятся как длины оснований, я далее пояснять не буду, почему равны площади, или почему одна в 3 раза больше. 

Проведем СО и обозначим SAOE = S1; SCOD = S2; SAOB = S3; (чтобы не таскать кучи букв).

Итак.

SCOE = 3*S2; ( AE:CE= 1:3, последний раз объясняю :));

SODB = S1;

3*(S2 + S3) = (3*S2 + S1 + S1); S3 = (2/3)*S1;

Поэтому АО = (2/3)*ОD;

Обозначим теперь для краткости записи x = AE; y = OD; q = sin(угол DAC)/2; (будьте предельно внимательны, что именно и как я обозначил)

SAOE = S2 = x*(2*y/3)*q; (произведение сторон на синус угла между ними, и пополам, понятно?)

SADC = (4*x)*(5*y/3)*q; = S + SAOE; 

(4*x)*(5*y/3)*q - x*(2*y/3)*q = S; y*x*q = S/6; (ура!)

SADC = SABC/2 = (20/3)*y*x*q = (20/3)*(S/6) = (20/18)*S;

SABC = S*20/9 = 20;