Question

Центр окружности, описанной около трапеции, делит ее высоту в отношении 3:4. Найти основания трапеции, ели радиус равен 10, и ее средняя линия равна высоте.

Answer 1

Любая вписанная трапеция равнобокая, так как углы, опирающиеся на одну дугу, должны быть равны. Обозначим основания трапеции за 2x и 2y. Тогда средняя линия равна (2x + 2y)/2 = (x + y),

Уравнения:
$\begin{cases} \dfrac{\sqrt{100-x^2}}{\sqrt{100-y^2}}=\dfrac43\\ x+y=\sqrt{100-x^2}+\sqrt{100-y^2} \end{cases}$

Решаем первое уравнение.
$\dfrac{\sqrt{100-x^2}}{\sqrt{100-y^2}}=\dfrac43\\ \dfrac{100-x^2}{100-y^2}=\dfrac{16}9\\ 100-x^2=\dfrac{1600}9-\dfrac{16}9y^2\\ x^2=\dfrac{16}9y^2-\dfrac{700}9$

Подставляя во второе уравнение и немного мучаясь, можно получить ответ x = 6, y = 8.

Уравнения будут выглядеть немного лучше, если обозначить куски высоты как 4x и 3x. Тогда уравнение будет выглядеть следующим образом:
$2(\sqrt{100-16x^2}+\sqrt{100-9x^2})=7x\\ 4(200-25x^2+2\sqrt{(100-16x^2)(100-9x^2)})=49x^2\\ x^2=t:\quad 149t-800=2\sqrt{100^2-25t+144t^2}\\ \dots$
Получающееся квадратное уравнение радует количеством вычислений.

Наконец, можно обозначить неизвестными углы 
H1CO = x и H2DO = y
Тогда система получится простой:
$\begin{cases} 4\sin x=3\sin y\\ \cos x+\cos y=\sin x+\sin y \end{cases}$
Но решать её всё равно неинтересно.

Ответ. 12, 16.