Question

Прямая проходит через точку (-1;2) и начало координат, пересекает окружность (x-7)^2+y^2-2y=124 в точках M и N. Найти периметр треугольника МОN, где О-центр окружности.

Answer 1

Найдем координаты центра окружности.
(x-7)^2+y^2-2y=124
(x-7)^2+y^2-2y+1=125
(x-7)^2+(y-1)^2=5√5^2

Координаты центра равны 
O (7;1).

Так как  прямая проходит через точку   (-1;2)   и начало координат , найдем уравнение данной прямой 
x-0/1 =y-0/0-2
y+2x=0

Так как прямая пересекает данную окружность, найдем координаты M и N

{y+2x=0
{(x-7)^2+(y-1)^2=125

{y=-2x
{$(x-7)^2+(-2x-1)^2=125\\ x^2-14x+49+4x^2+4x+1=125\\ 5x^2-10x-75=0\\ (x-3)(x+5)=0\\ x=3\\ x=-5\\ y=6\\ y=-10$

Найдем теперь длины сторон треугольника 
MN=$\sqrt{(3+5)^2+(10+6)^2} =8 \sqrt{5}$
а две другие стороны это есть радиусы тогда периметр равен 
P=$8\sqrt{5}+10\sqrt{5}=18\sqrt{5}$