Question

Разность сторон правильных треугольника и четырёхугольника, вписанных в одну окружность, равна 2 см. Найдите периметр правильного шестиугольника, описанного около этой окружности.

Answer 1

Пусть R - радиус данной окружности.

Тогда сторона квадрата вписанного в эту окружность:

a = (2R)/√2 = R√2

Сторона правильного треугольника,вписанного в эту окружность равна  b.

Тогда высота этого тр-ка:

h = (b√3)/2

Радиус же равен ⅔ высоты:

R = ⅔h = (b√3)/3

Отсюда выражаем b:

b = R√3

По условию: b-a=2,   R(√3 - √2) = 2

Отсюда радиус данной окр-ти:

R = 2/(√3 - √2), или домножив на сопряженное знаменателю:

R = 2(√3 + √2)

Сторона правильного 6-ника описанного около этой окружности:

с = 2R*tg30⁰ = 4√3(√3 + √2)/3 = 4(3+√6)/3

Тогда периметр:

Р = 6с = 8(3+√6)

Ответ: 8(3+√6) см.