Question

В прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотинузой c вписана окружность радиуса r.Докажите,что r= a+b-c/2

Answer 1

Радиус окружности вписанный в любой треугольник находится по формуле:
$r= \sqrt{ \frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p} } , p= \frac{a+b+c}{2}$
по формуле Герона, радиус можно выразить через площадь
$r= \sqrt{ \frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p} }= \frac{\sqrt{ p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p }= \frac{S}{p}= \frac{2ab}{2(a+b+c)} = \\ =\frac{2ab+a^2+b^2-a^2-b^2}{2(a+b+c)}=\frac{(a+b)^2-c^2}{2(a+b+c)}=\frac{(a+b-c)(a+b+c)}{2(a+b+c)}=\frac{a+b-c}{2}$

Answer 2

Дано:
ABC-треугольник
угол ABC=90°
O;R;
тр. док-ть что :
r =(a+b-c)/2

Решение:
Построим три радиуса перпендикулярные сторонам треугольника, получи шесть треугольников.
видим общие гипоиенузы, и из теоремы пифогоры с²=а²+b², составим уравнение, где х-кусок гипотенузы, отсекаемый радиусом:
Получим систему
(b-r)²+r²=(c-x)²+r²
(a-r)²+r ²=x²+r²
отсюда следует
b-r=c-x
a-r=x
b-r=c-a+r
2r=a+b-c
r =(a+b-c)/2
Что и требовалось доказать.