Question

Дано: ΔABC, AB=BC, BD⊥AC, PΔ=18, BD=3 Найти: r (радиус вписанной окружности) Решение:

Answer 1

Площадь треугольника равна половине произведение его периметра на радиус вписанной окружности:
$S= \frac{1}{2} Pr\Rightarrow r= \frac{2S}{P}$

С другой стороны площадь можно найти как половина произведения основания на высоту:
$S= \frac{1}{2} \cdot AC\cdot BD$
Тогда выражение для радиуса вписанной окружности примет вид:
$r= \frac{AC\cdot BD}{P}$

Основание АС нам неизвестно, поэтому введем обозначения: AC=a, AB=BC=b, и составим систему уравнений:
Первое уравнение: $a+2b=18$ - периметр треугольника.
В качестве второго уравнения рассмотрим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника BCD, где DC=а/2, так как BD - высота равнобедренного треугольника, а следовательно, и медиана.
Второе уравнение: $( \frac{a}{2} )^2+3^2=b^2$
$\begin{cases} a+2b=18 \\ ( \frac{a}{2} )^2+3^2=b^2\right \end{cases} \\\ \begin{cases} a=18-2b \\ ( \frac{18-2b}{2} )^2+9=b^2\right \end{cases} \\\ ( 9-b)^2+9=b^2 \\\ 81-18b+b^2+9=b^2 \\\ 18b=90 \\\ b=5 \\ a=18-2\cdot5=8 \\\ \Rightarrow AC=8$

Подставляем числовые данные в выражения для радиуса:
$r= \frac{AC\cdot BD}{P}= \frac{8\cdot3}{18} = \frac{4}{3}$

Ответ: 4/3